integral of x^2sqrt(49-x^2)

Lösung

\int x^{2} 49 - x^{2} d x

\frac{2401}{8} (arcsin (\frac{1}{7} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{7} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 49 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 2401 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2401 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2401 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2401 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2401 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 2401 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{7} x)

ein

= 2401 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{7} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{7} x)))

Vereinfache

2401 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{7} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{7} x))) : \frac{2401}{8} (arcsin (\frac{1}{7} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{7} x)))

= \frac{2401}{8} (arcsin (\frac{1}{7} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{7} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2401}{8} (arcsin (\frac{1}{7} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{7} x))) + C

\int 4 e^{0.8 x} d x

\int x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 1 d x

\int (1 - x) (1 + 2 x^{2}) d x

\int \frac{x ^{2}}{x ^{6} - 1} d x

\int \frac{( 3 x ^{2} )}{( 2 - x ^{3} ) ^{3}} d x