integral of (xe^x)/(sqrt(9+e^x))

解答

\int \frac{x e ^{x}}{9 + e ^{x}} d x

2 x 9 + e^{x} + 12 (\frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} - 1 - \frac{1}{3} 9 + e^{x}) + C

求解步骤

\int \frac{x e ^{x}}{9 + e ^{x}} d x

使用换元积分法

= \int \frac{ln ( u )}{9 + u} d u

使用分布积分法

= 2 ln (u) 9 + u - \int \frac{2 9 + u}{u} d u

\int \frac{2 9 + u}{u} d u = - 12 (\frac{1}{2} ln \frac{9 + u}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{9 + u}{3} - 1 - \frac{1}{3} 9 + u)

= 2 ln (u) 9 + u - (- 12 (\frac{1}{2} ln \frac{9 + u}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{9 + u}{3} - 1 - \frac{1}{3} 9 + u))

u = e^{x}

代回

= 2 ln (e^{x}) 9 + e^{x} - (- 12 (\frac{1}{2} ln \frac{9 + e ^{x}}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{9 + e ^{x}}{3} - 1 - \frac{1}{3} 9 + e^{x}))

化简

2 ln (e^{x}) 9 + e^{x} - (- 12 (\frac{1}{2} ln \frac{9 + e ^{x}}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{9 + e ^{x}}{3} - 1 - \frac{1}{3} 9 + e^{x})) : 2 x 9 + e^{x} + 12 (\frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} - 1 - \frac{1}{3} 9 + e^{x})

= 2 x 9 + e^{x} + 12 (\frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} - 1 - \frac{1}{3} 9 + e^{x})

解答补常数

= 2 x 9 + e^{x} + 12 (\frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} 9 + e^{x} - 1 - \frac{1}{3} 9 + e^{x}) + C

\int + \frac{4 y ^{2} - 7 y - 12}{y ( y + 2 ) ( y - 3 )} d y

\int 4 x^{2} e^{3 x^{2}} d x

\int (\frac{3}{x ^{4}} - \frac{2}{x}) d x

\int sin^{2} (y) cos^{4} (y) d y

\int \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} d x