integral of 1/(sqrt(4y^2+4y+5))

Lösung

\int \frac{1}{4 y ^{2} + 4 y + 5} d y

\frac{1}{2} ln \frac{4 y ^{2} + 4 y + 5}{2} + y + \frac{1}{2} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{4 y ^{2} + 4 y + 5} d y

Vervollständige das Quadrat

4 y^{2} + 4 y + 5 : 4 (y + \frac{1}{2})^{2} + 4

= \int \frac{1}{4 ( y + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 u ^{2} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = ln u^{2} + 1 + u

= \frac{1}{2} ln u^{2} + 1 + u

Setze in

u = y + \frac{1}{2}

ein

= \frac{1}{2} ln (y + \frac{1}{2})^{2} + 1 + y + \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{1}{2} ln (y + \frac{1}{2})^{2} + 1 + y + \frac{1}{2} : \frac{1}{2} ln \frac{4 y ^{2} + 4 y + 5}{2} + y + \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} ln \frac{4 y ^{2} + 4 y + 5}{2} + y + \frac{1}{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln \frac{4 y ^{2} + 4 y + 5}{2} + y + \frac{1}{2} + C

\int 8 sin^{- \frac{3}{2}} (x) cos^{3} (x) d x

\int \frac{9 x}{x ^{2} + 1} d x

\int - \frac{1}{5} sin (u) d u

\int \frac{1}{c + e ^{- x}} d x

\int \frac{sec ^{3} ( \frac{1}{x} ) tan ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x