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integral de (pitan^3(3x))(-2pisec^4(3x))

Solução

\int (π tan^{3} (3 x)) (- 2 π sec^{4} (3 x)) d x

- 2 π^{2} (\frac{1}{18} sec^{6} (3 x) - \frac{1}{12} sec^{4} (3 x)) + C

Passos da solução

\int π tan^{3} (3 x) (- 2 π sec^{4} (3 x)) d x

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= π \cdot \int tan^{3} (3 x) (- 2 π sec^{4} (3 x)) d x

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= π \cdot \int - \frac{2 π tan ^{3} ( 3 x )}{cos ^{4} ( 3 x )} d x

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= π (- 2 π \cdot \int \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{cos ^{4} ( 3 x )} d x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= π (- 2 π \cdot \int sec^{4} (3 x) tan^{3} (3 x) d x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= π (- 2 π \cdot \int (- 1 + sec^{2} (3 x)) tan (3 x) sec^{4} (3 x) d x)

Aplicar integração por substituição

: \int \frac{u ^{3} ( u ^{2} - 1 )}{3} d u

= π (- 2 π \cdot \int \frac{u ^{3} ( u ^{2} - 1 )}{3} d u)

Expandir

\frac{u ^{3} ( u ^{2} - 1 )}{3} : \frac{u ^{5}}{3} - \frac{u ^{3}}{3}

= π (- 2 π \cdot \int \frac{u ^{5}}{3} - \frac{u ^{3}}{3} d u)

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= π (- 2 π (\int \frac{u ^{5}}{3} d u - \int \frac{u ^{3}}{3} d u))

\int \frac{u ^{5}}{3} d u = \frac{u ^{6}}{18}

\int \frac{u ^{3}}{3} d u = \frac{u ^{4}}{12}

= π (- 2 π (\frac{u ^{6}}{18} - \frac{u ^{4}}{12}))

Substituir na equação

u = sec (3 x)

= π (- 2 π (\frac{sec ^{6} ( 3 x )}{18} - \frac{sec ^{4} ( 3 x )}{12}))

Simplificar

π (- 2 π (\frac{sec ^{6} ( 3 x )}{18} - \frac{sec ^{4} ( 3 x )}{12})) : - 2 π^{2} (\frac{1}{18} sec^{6} (3 x) - \frac{1}{12} sec^{4} (3 x))

= - 2 π^{2} (\frac{1}{18} sec^{6} (3 x) - \frac{1}{12} sec^{4} (3 x))

Adicionar uma constante à solução

= - 2 π^{2} (\frac{1}{18} sec^{6} (3 x) - \frac{1}{12} sec^{4} (3 x)) + C

\int 31 tan^{5} (x) sec^{4} (x) d x

\int 5 x^{4} + 2 x^{- 3} - 3 e^{x} + \frac{2}{3} x^{- 1} d x

\int \frac{x - 2}{( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 4 )} d x

\int \frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} + 1} d x

\int (\frac{1}{x} - 1) d x