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integral of (cos^4(x))/(sin^8(x))

Lösung

\int \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{8} ( x )} d x

- \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{8} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{cot ^{4} ( x )}{sin ^{4} ( x )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{sin ( x )} = csc (x)

= \int cot^{4} (x) csc^{4} (x) d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int - u^{4} (u^{2} + 1) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int u^{4} (u^{2} + 1) d u

Multipliziere aus

u^{4} (u^{2} + 1) : u^{6} + u^{4}

= - \int u^{6} + u^{4} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int u^{6} d u + \int u^{4} d u)

\int u^{6} d u = \frac{u ^{7}}{7}

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

= - (\frac{u ^{7}}{7} + \frac{u ^{5}}{5})

Setze in

u = cot (x)

ein

= - (\frac{cot ^{7} ( x )}{7} + \frac{cot ^{5} ( x )}{5})

Vereinfache

- (\frac{cot ^{7} ( x )}{7} + \frac{cot ^{5} ( x )}{5}) : - \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x)

= - \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x) + C

\int - 4 cos (\frac{x}{2}) d x

\int 25 t^{- 1} d t

\int \frac{25 x ^{2} - 3 ^{2}}{4 x ^{2}} d x

\int \frac{2}{1} d x

\int \frac{7}{x ^{4} - 1} d x