integral of (x^2+y^2)^{(-3)/2}

Lösung

\int (x^{2} + y^{2})^{\frac{- 3}{2}} d x

\frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int (x^{2} + y^{2})^{\frac{- 3}{2}} d x

Vereinfache

(y^{2} + x^{2})^{\frac{- 3}{2}} : \frac{1}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{1}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{y ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{y ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{y} x)

ein

= \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x))

Vereinfache

\frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x)) : \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )} d x

\int \frac{t ^{2}}{3 6 + t ^{3}} d t

\int 2 x - 5^{x} + \frac{3}{x} d x

\int \frac{x ^{2} + 4 x}{( x + 2 ) ^{2}} d x

\int 2 x^{2} - 8 d x