integral of (4sin(x))/(1+cos^2(x))

Lösung

\int \frac{4 sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{sin ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{2 u}{u ^{4} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{4} + 1} d u

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Vereinfache

4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) : 4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

= 4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

\int \frac{x}{( 9 + 4 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\int 1 + (x (x^{2} + 2)^{\frac{1}{2}})^{2} d x

\int (9 z^{2} + 14 z - 2) d z

\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{2} + 4 x + 5} d x

\int \frac{1}{x ^{2}} \cdot (\frac{1}{t} - 1)^{\frac{1}{2}}