integral of (2y+3)/((y-1)(y^3-1))

解答

\int \frac{2 y + 3}{( y - 1 ) ( y ^{3} - 1 )} d y

- ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{5}{3 ( y - 1 )} + \frac{1}{3} (6 (\frac{1}{4} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + \frac{2}{3} arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

求解步骤

\int \frac{2 y + 3}{( y - 1 ) ( y ^{3} - 1 )} d y

将

\frac{2 y + 3}{( y - 1 ) ( y ^{3} - 1 )}

用部份分式展开:

- \frac{1}{y - 1} + \frac{5}{3 ( y - 1 ) ^{2}} + \frac{3 y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )}

= \int - \frac{1}{y - 1} + \frac{5}{3 ( y - 1 ) ^{2}} + \frac{3 y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{y - 1} d y + \int \frac{5}{3 ( y - 1 ) ^{2}} d y + \int \frac{3 y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

\int \frac{1}{y - 1} d y = ln ∣ y - 1 ∣

\int \frac{5}{3 ( y - 1 ) ^{2}} d y = - \frac{5}{3 ( y - 1 )}

\int \frac{3 y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y = \frac{1}{3} (6 (\frac{1}{4} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + \frac{2}{3} arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

= - ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{5}{3 ( y - 1 )} + \frac{1}{3} (6 (\frac{1}{4} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + \frac{2}{3} arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

解答补常数

= - ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{5}{3 ( y - 1 )} + \frac{1}{3} (6 (\frac{1}{4} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + \frac{2}{3} arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

\int t (sec^{2} (t^{2})) (tan^{4} (t^{2})) d t

\int \frac{1}{x ^{2}} - 6 x d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 10 x + 29} d x

\int \frac{4 x ^{2} + 3 x + 3}{x ^{3} + x ^{2} + x + 1} d x

\int (3 x^{2} - 5 x) d x