integral of sqrt(x)sqrt(2-x)

Soluzione

\int x 2 - x d x

\frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

Fasi della soluzione

\int x 2 - x d x

Applica la regola degli esponenti:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

x 2 - x = x (2 - x)

= \int x (2 - x) d x

Completa il quadrato

x (2 - x) : - (x - 1)^{2} + 1

= \int - (x - 1)^{2} + 1 d x

Applicare la sostituzione u

= \int - u^{2} + 1 d u

Applicazione della sostituzione trigonometrica

= \int cos^{2} (v) d v

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Porta fuori la costante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Sostituisci indietro

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1)))

Aggiungi una costante alla soluzione

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

\int t cos (n \frac{π}{2} t) d t

\int (2 x^{2} + 1)^{3} d x

\int 4 csc (x) (csc (x) - 3 cot (x)) d x

\int x e^{20 x} d x

\int \frac{ln ( x )}{x ^{12}} d x