积分 (x^3-1)/(x^3+1)

解答

积分

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + 1}

x - \frac{2}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + C

求解步骤

\int \frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + 1} d x

乘开

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + 1} : \frac{x ^{3}}{x ^{3} + 1} - \frac{1}{x ^{3} + 1}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{3}}{x ^{3} + 1} d x - \int \frac{1}{x ^{3} + 1} d x

\int \frac{x ^{3}}{x ^{3} + 1} d x = - \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x

\int \frac{1}{x ^{3} + 1} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

= - \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x - (\frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})))

化简

- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x - (\frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))) : x - \frac{2}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

= x - \frac{2}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

解答补常数

= x - \frac{2}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + C

\int sin^{3} (3 θ) cos^{4} (3 θ) d θ

\int \frac{2}{t - 1} d t

\int \frac{1}{16 - ( 2 x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{( 2 + ln ( x ^{2} ) )}{x} d x

\int \frac{20}{x ^{3} + x ^{2}} d x