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integral of e^{-ax}cos(x)

解答

\int e^{- a x} cos (x) d x

解答

\frac{e ^{- a x} sin ( x )}{1 + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( x )}{1 + a ^{2}} + C

求解步骤

\int e^{- a x} cos (x) d x

使用分布积分法

= e^{- a x} sin (x) - \int - a e^{- a x} sin (x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} sin (x) - (- a \cdot \int e^{- a x} sin (x) d x)

使用分布积分法

= e^{- a x} sin (x) - (- a (- e^{- a x} cos (x) - \int a e^{- a x} cos (x) d x))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} sin (x) - (- a (- e^{- a x} cos (x) - a \cdot \int e^{- a x} cos (x) d x))

因此

\int e^{- a x} cos (x) d x = e^{- a x} sin (x) - (- a (- e^{- a x} cos (x) - a \cdot \int e^{- a x} cos (x) d x))

整理

\int e^{- a x} cos (x) d x

= \frac{e ^{- a x} sin ( x )}{1 + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( x )}{1 + a ^{2}}

解答补常数

= \frac{e ^{- a x} sin ( x )}{1 + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( x )}{1 + a ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of xe^{-3}

\int x e^{- 3} d x

integral of sin^4(t/2)

\int sin^{4} (\frac{t}{2}) d t

integral of (1/(x^{3/2)}+1)

\int (\frac{1}{x ^{\frac{3}{2}}} + 1) d x

integral of (x^{3/2}+12x+2)

\int (x^{\frac{3}{2}} + 12 x + 2) d x

integral of 1/(sqrt(1-x)+\sqrt[3]{1-x)}

\int \frac{1}{1 - x + 3 1 - x} d x