integral of t/(cos^2(t))

解

\int \frac{t}{cos ^{2} ( t )} d t

t tan (t) + ln ∣ cos (t) ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{t}{cos ^{2} ( t )} d t

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{2 t}{1 + cos ( 2 t )} d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{t}{1 + cos ( 2 t )} d t

部分積分を適用する

= 2 (\frac{1}{2} t tan (t) - \int \frac{1}{2} tan (t) d t)

\int \frac{1}{2} tan (t) d t = - \frac{1}{2} ln ∣ cos (t) ∣

= 2 (\frac{1}{2} t tan (t) - (- \frac{1}{2} ln ∣ cos (t) ∣))

簡素化

2 (\frac{1}{2} t tan (t) - (- \frac{1}{2} ln ∣ cos (t) ∣)) : t tan (t) + ln ∣ cos (t) ∣

= t tan (t) + ln ∣ cos (t) ∣

定数を解答に追加する

= t tan (t) + ln ∣ cos (t) ∣ + C