integral 1/((x^2+4)^2)

Lösung

integral

\frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}

\frac{1}{16} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{8 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2})))

Vereinfache

\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2}))) : \frac{1}{16} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2})))

= \frac{1}{16} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{16} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2}))) + C

\int 5 cos^{6} (x) sin^{2} (x) d x

\int 2 x 10 x - x^{2} d x

\int \frac{3 x}{( 3 x ^{2} - 1 ) ^{4}} d x

\int \frac{2 x - 5}{x ( x - 1 ) ^{3}} d x

\int \frac{y ^{2} + 3}{y - 4} d y