integral of (2sin(x)cos(x))/(1+cos^2(x))

Lösung

\int \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

- ln 1 + cos^{2} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{2 ( 1 + cos ^{2} ( x ) )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{1}{u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- ln ∣ u ∣)

Setze in

u = 1 + cos^{2} (x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- ln 1 + cos^{2} (x))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (- ln 1 + cos^{2} (x)) : - ln 1 + cos^{2} (x)

= - ln 1 + cos^{2} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln 1 + cos^{2} (x) + C

\int (e^{y} + 6 x) d x

\int \frac{3}{x x} d x

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{3 x - 1}{4 x ^{2} - 4 x + 12} d x

\int \frac{5}{x ^{8}} d x