integral de cos(x)sqrt(4+sin^2(x))

Solução

\int cos (x) 4 + sin^{2} (x) d x

4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x))) + C

Passos da solução

\int cos (x) 4 + sin^{2} (x) d x

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \int cos (x) - cos^{2} (x) + 5 d x

Aplicar integração por substituição trigonométrica

: \int u^{2} + 4 d u

= \int u^{2} + 4 d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

: \int 4 sec^{3} (v) d v

= \int 4 sec^{3} (v) d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sec^{3} (v) d v

Aplicar a redução de integrais

= 4 (\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 4 (\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Substituir na equação

= 4 (\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2} sin (x))) + sec (arctan (\frac{1}{2} sin (x))))

Simplificar

4 (\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2} sin (x))) + sec (arctan (\frac{1}{2} sin (x)))) : 4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x)))

= 4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x)))

Adicionar uma constante à solução

= 4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x))) + C

\int - x \cdot ln (1 + x^{2}) d x

\int \frac{1 - x ln ( x )}{x e ^{x}} d x

\int (y^{- 2}) d y

\int 5 8 x + 5 d x

\int e^{x} tan^{3} (e^{x}) d x