integral of sin(θ/2)tan(θ/2)

Lösung

\int sin (\frac{θ}{2}) tan (\frac{θ}{2}) d θ

2 (ln tan (\frac{θ}{2}) + sec (\frac{θ}{2}) - sin (\frac{θ}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int sin (\frac{θ}{2}) tan (\frac{θ}{2}) d θ

Wende U-Substitution an

= \int sin (u) tan (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin (u) tan (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u)

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= 2 (ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u))

Setze in

u = \frac{θ}{2}

ein

= 2 (ln tan (\frac{θ}{2}) + sec (\frac{θ}{2}) - sin (\frac{θ}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (ln tan (\frac{θ}{2}) + sec (\frac{θ}{2}) - sin (\frac{θ}{2})) + C

\int (7 - csc (x) cot (x)) d x

\int \frac{sin ( 2 x )}{y} + x d x

\int \frac{2}{e ^{2 x} + 6} + \frac{1}{e ^{2 x} - 3} d x

\int 2 π cos (n x) d x

\int arcsin (\frac{x}{3}) d x