integral of (4y^2-6y-12)/(y(y+2)(y-3))

解

\int \frac{4 y ^{2} - 6 y - 12}{y ( y + 2 ) ( y - 3 )} d y

2 ln ∣ y ∣ + \frac{8}{5} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{2}{5} ln ∣ y - 3 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{4 y ^{2} - 6 y - 12}{y ( y + 2 ) ( y - 3 )} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{4 y ^{2} - 6 y - 12}{y ( y + 2 ) ( y - 3 )} : \frac{2}{y} + \frac{8}{5 ( y + 2 )} + \frac{2}{5 ( y - 3 )}

= \int \frac{2}{y} + \frac{8}{5 ( y + 2 )} + \frac{2}{5 ( y - 3 )} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{y} d y + \int \frac{8}{5 ( y + 2 )} d y + \int \frac{2}{5 ( y - 3 )} d y

\int \frac{2}{y} d y = 2 ln ∣ y ∣

\int \frac{8}{5 ( y + 2 )} d y = \frac{8}{5} ln ∣ y + 2 ∣

\int \frac{2}{5 ( y - 3 )} d y = \frac{2}{5} ln ∣ y - 3 ∣

= 2 ln ∣ y ∣ + \frac{8}{5} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{2}{5} ln ∣ y - 3 ∣

定数を解答に追加する

= 2 ln ∣ y ∣ + \frac{8}{5} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{2}{5} ln ∣ y - 3 ∣ + C