integral of (e^{2x})/((2x+1)^2)

解

\int \frac{e ^{2 x}}{( 2 x + 1 ) ^{2}} d x

\frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 x}}{2 x + 1} + \frac{1}{e} Ei (2 x + 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{2 x}}{( 2 x + 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{e ^{u}}{2 ( u + 1 ) ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{e ^{u}}{( u + 1 ) ^{2}} d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{u}}{u + 1} - \int - \frac{e ^{u}}{u + 1} d u)

\int - \frac{e ^{u}}{u + 1} d u = - \frac{1}{e} Ei (u + 1)

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{u}}{u + 1} - (- \frac{1}{e} Ei (u + 1)))

代用を戻す

u = 2 x

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 x}}{2 x + 1} - (- \frac{1}{e} Ei (2 x + 1)))

簡素化

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 x}}{2 x + 1} + \frac{1}{e} Ei (2 x + 1))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 x}}{2 x + 1} + \frac{1}{e} Ei (2 x + 1)) + C