integral from 0 to t of sin(a(t-u))

解

\int_{0}^{t} sin (a (t - u)) d u

- \frac{- 1 + cos ( a t )}{a}

解答ステップ

\int_{0}^{t} sin (a (t - u)) d u

u置換積分法を適用する

= \int_{t}^{0} - sin (a v) d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int_{t}^{0} sin (a v) d v

u置換積分法を適用する

= - \int_{a t}^{0} \frac{sin ( w )}{a} d w

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{a} \cdot \int_{a t}^{0} sin (w) d w

共通積分を使用する:

\int sin (w) d w = - cos (w)

= - \frac{1}{a} [- cos (w)]_{a t}^{0}

限度を計算する:

- 1 + cos (a t)

= - \frac{1}{a} (- 1 + cos (a t))

簡素化

= - \frac{- 1 + cos ( a t )}{a}