integral from 0 to 1 of 1/(xe^{x^2)}

解

\int_{0}^{1} \frac{1}{x e ^{x^{2}}} d x

- \frac{1}{2} (Ei (0) - Ei (- 1))

解答ステップ

\int_{0}^{1} \frac{1}{x e ^{x^{2}}} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{1} \frac{1}{2 e ^{u} u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{e ^{u} u} d u

指数の規則を適用する:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{u} u} = e^{- u} \frac{1}{u}

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} e^{- u} \frac{1}{u} d u

簡素化

e^{- u} \frac{1}{u} : \frac{e ^{- u}}{u}

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} \frac{e ^{- u}}{u} d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 1} \frac{e ^{v}}{v} d v

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= \frac{1}{2} (- \int_{- 1}^{0} \frac{e ^{v}}{v} d v)

非初等積分を使用する:

\int \frac{e ^{x}}{x} d x = Ei (x)

= \frac{1}{2} (- [Ei (v)]_{- 1}^{0})

簡素化

= - \frac{1}{2} [Ei (v)]_{- 1}^{0}

限度を計算する:

Ei (0) - Ei (- 1)

= - \frac{1}{2} (Ei (0) - Ei (- 1))