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integral de 1 a 3 de sqrt(1-(y-2)^2)

Solución

\int_{1}^{3} 1 - (y - 2)^{2} d y

\frac{π}{2}

Notación decimal

1.57079 \dots

Pasos de solución

\int_{1}^{3} 1 - (y - 2)^{2} d y

Expandir

1 - (y - 2)^{2} : - y^{2} + 4 y - 3

= \int_{1}^{3} - y^{2} + 4 y - 3 d y

Completar el cuadrado

- y^{2} + 4 y - 3 : - (y - 2)^{2} + 1

= \int_{1}^{3} - (y - 2)^{2} + 1 d y

Aplicar integración por sustitución

: \int_{- 1}^{1} - u^{2} + 1 d u

= \int_{- 1}^{1} - u^{2} + 1 d u

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} (v) d v

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} (v) d v

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + cos (2 v) d v

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d v + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v)

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d v = π

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v = 0

= \frac{1}{2} (π + 0)

Simplificar

\frac{1}{2} (π + 0) : \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\int_{0}^{1} - 2 sin ((2 - 2 x)^{2}) d x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (x - cos (x)) d x

\int_{0}^{π} 2 sin^{9} (t) cos (t) d t

\int_{2}^{3.5} 7 - 2 x d x

\int_{- 1}^{2} 3 x^{2} e^{x^{3} + 5} d x