derivative of (ln(8^x+5)/(ln(8^{x+1)+5)})

解

\frac{d}{d x} (\frac{ln ( 8 ^{x} + 5 )}{ln ( 8 ^{x + 1} + 5 )})

\frac{3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x} ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ( 8 ^{x + 1} + 5 ) - 3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x + 1} ln ( 8 ^{x} + 5 ) ( 8 ^{x} + 5 )}{ln ^{2} ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ( 8 ^{x} + 5 ) ( 8 ^{x + 1} + 5 )}

解答ステップ

\frac{d}{d x} (\frac{ln ( 8 ^{x} + 5 )}{ln ( 8 ^{x + 1} + 5 )})

商の法則を適用:

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - g ^{'} \cdot f}{g ^{2}}

= \frac{\frac{d}{d x} ( ln ( 8 ^{x} + 5 ) ) ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) - \frac{d}{d x} ( ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ) ln ( 8 ^{x} + 5 )}{( ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ) ^{2}}

\frac{d}{d x} (ln (8^{x} + 5)) = \frac{3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x}}{8 ^{x} + 5}

\frac{d}{d x} (ln (8^{x + 1} + 5)) = \frac{3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x + 1}}{8 ^{x + 1} + 5}

= \frac{\frac{3 l n ( 2 ) \cdot 8 ^{x}}{8 ^{x} + 5} ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) - \frac{3 l n ( 2 ) \cdot 8 ^{x + 1}}{8 ^{x + 1} + 5} ln ( 8 ^{x} + 5 )}{( ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ) ^{2}}

簡素化

\frac{\frac{3 l n ( 2 ) \cdot 8 ^{x}}{8 ^{x} + 5} ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) - \frac{3 l n ( 2 ) \cdot 8 ^{x + 1}}{8 ^{x + 1} + 5} ln ( 8 ^{x} + 5 )}{ln ^{2} ( 8 ^{x + 1} + 5 )} : \frac{3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x} ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ( 8 ^{x + 1} + 5 ) - 3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x + 1} ln ( 8 ^{x} + 5 ) ( 8 ^{x} + 5 )}{ln ^{2} ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ( 8 ^{x} + 5 ) ( 8 ^{x + 1} + 5 )}

= \frac{3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x} ln ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ( 8 ^{x + 1} + 5 ) - 3 ln ( 2 ) \cdot 8 ^{x + 1} ln ( 8 ^{x} + 5 ) ( 8 ^{x} + 5 )}{ln ^{2} ( 8 ^{x + 1} + 5 ) ( 8 ^{x} + 5 ) ( 8 ^{x + 1} + 5 )}