integral from-a to a of x^2sqrt(a^2-x^2)

解

\int_{- a}^{a} x^{2} a^{2} - x^{2} d x

\frac{π}{8} a^{4}

解答ステップ

\int_{- a}^{a} x^{2} a^{2} - x^{2} d x

三角関数による置換を適用する

= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} a^{4} sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{4} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= a^{4} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{4} \frac{1}{8} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 - cos (4 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{4} \frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d u - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos (4 u) d u)

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d u = π

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos (4 u) d u = 0

= a^{4} \frac{1}{8} (π - 0)

簡素化

a^{4} \frac{1}{8} (π - 0) : \frac{π}{8} a^{4}

= \frac{π}{8} a^{4}