y^{''}-y^'-6y=5-6^x,y(0)=2,y^'(0)=4

解

y^{^{''}} - y^{^{'}} - 6 y = 5 - 6^{x}, y (0) = 2, y^{^{'}} (0) = 4

y = (- c_{2} + \frac{5}{2} - \frac{- 5 ln ^{2} ( 6 ) + 5 ln ( 6 ) + 15}{15 ln ^{2} ( 6 ) - 15 ln ( 6 ) - 90}) e^{3 x} + c_{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} + \frac{( ln ( 6 ) + 2 ) e ^{3 x} ( - 5 ( ln ( 6 ) - 3 ) - 2 ^{x} \cdot 3 ^{x + 1} ) + ( ln ( 6 ) - 3 ) \cdot 3 ^{\frac{l n ( 6 ) x + 5 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{l n ( 6 ) x + 5 x}{l n ( 6 )}} e ^{- 2 x}}{5 ln ^{2} ( 6 ) \cdot 3 ^{\frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{3 x}{l n ( 6 )}} - 5 ln ( 6 ) \cdot 3 ^{\frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{3 x}{l n ( 6 )}} - 5 \cdot 3 ^{1 + \frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{1 + \frac{3 x}{l n ( 6 )}}}

解答ステップ

y^{''} (x) - y^{'} (x) - 6 y = 5 - 6^{x}

線形 ODE を解く:

y = (- c_{2} + \frac{5}{2} - \frac{- 5 ln ^{2} ( 6 ) + 5 ln ( 6 ) + 15}{15 ln ^{2} ( 6 ) - 15 ln ( 6 ) - 90}) e^{3 x} + c_{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} + \frac{( ln ( 6 ) + 2 ) e ^{3 x} ( - 5 ( ln ( 6 ) - 3 ) - 2 ^{x} \cdot 3 ^{x + 1} ) + ( ln ( 6 ) - 3 ) \cdot 3 ^{\frac{l n ( 6 ) x + 5 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{l n ( 6 ) x + 5 x}{l n ( 6 )}} e ^{- 2 x}}{5 ln ^{2} ( 6 ) \cdot 3 ^{\frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{3 x}{l n ( 6 )}} - 5 ln ( 6 ) \cdot 3 ^{\frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{3 x}{l n ( 6 )}} - 5 \cdot 3 ^{1 + \frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{1 + \frac{3 x}{l n ( 6 )}}}

y = (- c_{2} + \frac{5}{2} - \frac{- 5 ln ^{2} ( 6 ) + 5 ln ( 6 ) + 15}{15 ln ^{2} ( 6 ) - 15 ln ( 6 ) - 90}) e^{3 x} + c_{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} + \frac{( ln ( 6 ) + 2 ) e ^{3 x} ( - 5 ( ln ( 6 ) - 3 ) - 2 ^{x} \cdot 3 ^{x + 1} ) + ( ln ( 6 ) - 3 ) \cdot 3 ^{\frac{l n ( 6 ) x + 5 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{l n ( 6 ) x + 5 x}{l n ( 6 )}} e ^{- 2 x}}{5 ln ^{2} ( 6 ) \cdot 3 ^{\frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{3 x}{l n ( 6 )}} - 5 ln ( 6 ) \cdot 3 ^{\frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{\frac{3 x}{l n ( 6 )}} - 5 \cdot 3 ^{1 + \frac{3 x + l n ( 6 )}{l n ( 6 )}} \cdot 2 ^{1 + \frac{3 x}{l n ( 6 )}}}