integral of tcos(t)sin(t)

解

\int t cos (t) sin (t) d t

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} t cos (2 t) + \frac{1}{4} sin (2 t)) + C

解答ステップ

\int t cos (t) sin (t) d t

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} t sin (2 t) d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int t sin (2 t) d t

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} t cos (2 t) - \int - \frac{1}{2} cos (2 t) d t)

\int - \frac{1}{2} cos (2 t) d t = - \frac{1}{4} sin (2 t)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} t cos (2 t) - (- \frac{1}{4} sin (2 t)))

簡素化

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} t cos (2 t) + \frac{1}{4} sin (2 t))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} t cos (2 t) + \frac{1}{4} sin (2 t)) + C