интеграл с 0 до (5pi)/4 от 3tan(x/5)

Решение

\int_{0}^{\frac{5 π}{4}} 3 tan (\frac{x}{5}) d x

\frac{15}{2} ln (2)

десятичными цифрами

5.19860 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{\frac{5 π}{4}} 3 tan (\frac{x}{5}) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int_{0}^{\frac{5 π}{4}} tan (\frac{x}{5}) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 3 \cdot \int_{0}^{\frac{5 π}{4}} \frac{sin ( \frac{x}{5} )}{cos ( \frac{x}{5} )} d x

Применить подстановку интеграла

= 3 \cdot \int_{1}^{\frac{2}{2}} - \frac{5}{u} d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= 3 (- \int_{\frac{2}{2}}^{1} - \frac{5}{u} d u)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 (- (- 5 \cdot \int_{\frac{2}{2}}^{1} \frac{1}{u} d u))

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= 3 (- (- 5 [ln ∣ u ∣]_{\frac{2}{2}}^{1}))

Упростите

3 (- (- 5 [ln ∣ u ∣]_{\frac{2}{2}}^{1})) : 15 [ln ∣ u ∣]_{\frac{1}{2}}^{1}

= 15 [ln ∣ u ∣]_{\frac{1}{2}}^{1}

Вычислить границы:

\frac{1}{2} ln (2)

= 15 \cdot \frac{1}{2} ln (2)

После упрощения получаем

= \frac{15}{2} ln (2)