partialfraction x/(x^4+1)

Solución

fracciones parciales

\frac{x}{x ^{4} + 1}

- \frac{1}{2 2 ( x ^{2} + 2 x + 1 )} + \frac{1}{2 2 ( x ^{2} - 2 x + 1 )}

Pasos de solución

\frac{x}{x ^{4} + 1}

Factorizar

x^{4} + 1 : (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)

= \frac{x}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )}

Crear un modelo para la fracción parcial usando el denominador

(x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)

\frac{x}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )} = \frac{a _{1} x + a _{0}}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{a _{3} x + a _{2}}{x ^{2} - 2 x + 1}

Multiplicar la ecuación por el denominador

\frac{x ( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )} = \frac{( a _{1} x + a _{0} ) ( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{( a _{3} x + a _{2} ) ( x ^{2} + 2 x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{x ^{2} - 2 x + 1}

Simplificar

x = (a_{1} x + a_{0}) (x^{2} - 2 x + 1) + (a_{3} x + a_{2}) (x^{2} + 2 x + 1)

Desarrollar

x = a_{1} x^{3} - 2 a_{1} x^{2} + a_{1} x + a_{0} x^{2} - 2 a_{0} x + a_{0} + a_{3} x^{3} + 2 a_{3} x^{2} + a_{3} x + a_{2} x^{2} + 2 a_{2} x + a_{2}

Agrupar elementos de acuerdo a las potencias de

x

1 \cdot x = x^{3} (a_{1} + a_{3}) + x^{2} (a_{0} + a_{2} + 2 a_{3} - 2 a_{1}) + x (a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} - 2 a_{0}) + (a_{0} + a_{2})

Igualar los coeficientes de términos similares en ambos lados para crear una lista de ecuaciones

a_{0} + a_{2} = 0 a_{1} - 2 a_{0} + a_{3} + 2 a_{2} = 1 - 2 a_{1} + a_{0} + 2 a_{3} + a_{2} = 0 a_{1} + a_{3} = 0

Resolver sistema de ecuaciones:

a_{0} = - \frac{1}{2 2}, a_{1} = 0, a_{2} = \frac{1}{2 2}, a_{3} = 0

a_{0} = - \frac{1}{2 2}, a_{1} = 0, a_{2} = \frac{1}{2 2}, a_{3} = 0

Sustituir las soluciones a los parámetros de la fracción parcial para obtener el resultado final

\frac{0 \cdot x + ( - \frac{1}{2 2} )}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{0 \cdot x + \frac{1}{2 2}}{x ^{2} - 2 x + 1}

Simplificar

- \frac{1}{2 2 ( x ^{2} + 2 x + 1 )} + \frac{1}{2 2 ( x ^{2} - 2 x + 1 )}

\frac{\partial}{\partial u} (4 u cos (v))

\int 2 x^{2} - 2 x^{- 1} d x

\frac{\partial}{\partial y} (6 x y - 12)

\frac{\partial}{\partial x} (2 x^{2} + 3 x y)

\int \frac{1}{100} d x