integral of 4x^3e^{-5x}

解

\int 4 x^{3} e^{- 5 x} d x

4 (- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}))) + C

解答ステップ

\int 4 x^{3} e^{- 5 x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int x^{3} e^{- 5 x} d x

部分積分を適用する

= 4 (- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \int - \frac{3}{5} e^{- 5 x} x^{2} d x)

\int - \frac{3}{5} e^{- 5 x} x^{2} d x = \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}))

= 4 (- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x})))

定数を解答に追加する

= 4 (- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}))) + C