интеграл от 1/((sqrt(x^2+y^2))^3)

Решение

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{3}} d y

\frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}} + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{3}} d y

Упростите

(x^{2} + y^{2})^{3} : (x^{2} + y^{2})^{2} x^{2} + y^{2}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2} x ^{2} + y ^{2}} d y

Упростите

(x^{2} + y^{2})^{2} : x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2}

= \int \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2}} d y

Упростить

\frac{1}{x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2}} : \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d y

Примените тригонометрическую подстановку

= \int \frac{1}{x ^{2} sec ( u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{x ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{x ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Использовать общий интеграл:

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{x ^{2}} sin (u)

Делаем обратную замену

u = arctan (\frac{1}{x} y)

= \frac{1}{x ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{x} y))

Упростите

\frac{1}{x ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{x} y)) : \frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}}

= \frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}}

Добавить константу к решению

= \frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}} + C