integral de 1/((sqrt(x^2+y^2))^3)

Solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{3}} d y

\frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}} + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{3}} d y

Simplificar

(x^{2} + y^{2})^{3} : (x^{2} + y^{2})^{2} x^{2} + y^{2}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2} x ^{2} + y ^{2}} d y

Simplificar

(x^{2} + y^{2})^{2} : x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2}

= \int \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2}} d y

Simplificar

\frac{1}{x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2} x ^{2} + y ^{2}} : \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d y

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{x ^{2} sec ( u )} d u

= \int \frac{1}{x ^{2} sec ( u )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{x ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{x ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Aplicar la regla de integración:

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{x ^{2}} sin (u)

Sustituir en la ecuación

u = arctan (\frac{1}{x} y)

= \frac{1}{x ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{x} y))

Simplificar

\frac{1}{x ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{x} y)) : \frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}}

= \frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}}

Agregar una constante a la solución

= \frac{y}{x ^{2} x ^{2} + y ^{2}} + C

\int cos (t^{3}) d t

\frac{d}{d x} (ln (9) x^{6})

\int (- 3 v + 4) d v

\int e^{2 x} (2 x + 1) d x