inverselaplace 4/(s^4+4)

解

逆ラプラス

\frac{4}{s ^{4} + 4}

\frac{1}{2} e^{- t} cos (t) + \frac{1}{2} e^{- t} sin (t) - \frac{1}{2} e^{t} cos (t) + \frac{1}{2} e^{t} sin (t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4}{s ^{4} + 4}}

以下の部分分数を得る:

\frac{4}{s ^{4} + 4} : \frac{s + 2}{2 ( s ^{2} + 2 s + 2 )} + \frac{- s + 2}{2 ( s ^{2} - 2 s + 2 )}

= L^{- 1} {\frac{s + 2}{2 ( s ^{2} + 2 s + 2 )} + \frac{- s + 2}{2 ( s ^{2} - 2 s + 2 )}}

拡張

\frac{s + 2}{2 ( s ^{2} + 2 s + 2 )} : \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{2} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{- s + 2}{2 ( s ^{2} - 2 s + 2 )}}

拡張

\frac{- s + 2}{2 ( s ^{2} - 2 s + 2 )} : - \frac{1}{2} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{2} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 1}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 1}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} sin (t)

L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 1}} : e^{t} cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 1}} : e^{t} sin (t)

= \frac{1}{2} e^{- t} cos (t) + \frac{1}{2} e^{- t} sin (t) - \frac{1}{2} e^{t} cos (t) + \frac{1}{2} e^{t} sin (t)