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人気のある微分積分 >

integral of (e^{ax+b}-e^{bx+a})/(e^{ax)}

解

\int \frac{e ^{a x + b} - e ^{b x + a}}{e ^{a x}} d x

解

e^{b} x + \frac{b}{a e ^{- b}} - \frac{e ^{- a x + b x + a}}{b - a} + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{a x + b} - e ^{b x + a}}{e ^{a x}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u - e ^{\frac{b ( l n ( u ) - b )}{a} + a}}{a e ^{- b} u ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a e ^{- b}} \cdot \int \frac{u - e ^{\frac{b ( l n ( u ) - b )}{a} + a}}{u ^{2}} d u

拡張

\frac{u - e ^{\frac{b ( l n ( u ) - b )}{a} + a}}{u ^{2}} : \frac{1}{u} - e^{- \frac{b ^{2}}{a} + a} u^{\frac{b - 2 a}{a}}

= \frac{1}{a e ^{- b}} \cdot \int \frac{1}{u} - e^{- \frac{b ^{2}}{a} + a} u^{\frac{b - 2 a}{a}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a e ^{- b}} (\int \frac{1}{u} d u - \int e^{- \frac{b ^{2}}{a} + a} u^{\frac{b - 2 a}{a}} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int e^{- \frac{b ^{2}}{a} + a} u^{\frac{b - 2 a}{a}} d u = \frac{a e ^{\frac{- b ^{2} + a ^{2}}{a}} u ^{\frac{b - a}{a}}}{b - a}

= \frac{1}{a e ^{- b}} (ln ∣ u ∣ - \frac{a e ^{\frac{- b ^{2} + a ^{2}}{a}} u ^{\frac{b - a}{a}}}{b - a})

代用を戻す

u = e^{a x + b}

= \frac{1}{a e ^{- b}} ln e^{a x + b} - \frac{a e ^{\frac{- b ^{2} + a ^{2}}{a}} ( e ^{a x + b} ) ^{\frac{b - a}{a}}}{b - a}

簡素化

\frac{1}{a e ^{- b}} ln e^{a x + b} - \frac{a e ^{\frac{- b ^{2} + a ^{2}}{a}} ( e ^{a x + b} ) ^{\frac{b - a}{a}}}{b - a} : e^{b} x + \frac{b}{a e ^{- b}} - \frac{e ^{- a x + b x + a}}{b - a}

= e^{b} x + \frac{b}{a e ^{- b}} - \frac{e ^{- a x + b x + a}}{b - a}

定数を解答に追加する

= e^{b} x + \frac{b}{a e ^{- b}} - \frac{e ^{- a x + b x + a}}{b - a} + C

グラフ

人気の例

sum from n=0 to infinity of ((2^n))/(n!)

n = 0 \sum \infty \frac{( 2 ^{n} )}{n !}

limit as x approaches 1 of 3x^4+3x^2-x+2

x \to 1 lim (3 x^{4} + 3 x^{2} - x + 2)

(d^2y)/(dt^2)-5(dy)/(dt)+6y=0

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - 5 \frac{d y}{d t} + 6 y = 0

laplacetransform e^{-1(t+1)}

l a pl a ce t r an s f or m e^{- 1 (t + 1)}

integral of e^{-2x+3}

\int e^{- 2 x + 3} d x