inverselaplace 4/((s+1)(s^2+4s+8))

解

逆ラプラス

\frac{4}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

\frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 2 t} sin ( 2 t )}{5}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{4}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : \frac{4}{5 ( s + 1 )} + \frac{- 4 s - 12}{5 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

= L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )} + \frac{- 4 s - 12}{5 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

拡張

\frac{- 4 s - 12}{5 ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : - \frac{4}{5} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )} - \frac{4}{5} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )}} - \frac{4}{5} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} - \frac{4}{5} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )}} : \frac{4}{5} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{4}{5} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{4}{5} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 2 t} sin ( 2 t )}{5}

= \frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 2 t} sin ( 2 t )}{5}