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受欢迎的微积分 >

integral of sqrt((x-1)/(x+1))

解答

\int \frac{x - 1}{x + 1} d x

解答

- 2 ln \frac{1}{2} (x - 1) + \frac{1}{2} x + 1 + x - 1 x + 1 + C

求解步骤

\int \frac{x - 1}{x + 1} d x

化简

\frac{x - 1}{x + 1} : \frac{x - 1}{x + 1}

= \int \frac{x - 1}{x + 1} d x

使用换元积分法

= \int 2 u^{2} - 2 d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int u^{2} - 2 d u

使用三角换元法

= 2 \cdot \int 2 tan^{2} (v) sec (v) d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

使用三角恒等式改写

= 2 \cdot 2 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

乘开

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 2 \cdot 2 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 \cdot 2 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

代回

= 2 \cdot 2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)))

化简

2 \cdot 2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1))) : - 2 ln \frac{1}{2} (x - 1) + \frac{1}{2} x + 1 + x - 1 x + 1

= - 2 ln \frac{1}{2} (x - 1) + \frac{1}{2} x + 1 + x - 1 x + 1

解答补常数

= - 2 ln \frac{1}{2} (x - 1) + \frac{1}{2} x + 1 + x - 1 x + 1 + C

作图

流行的例子

derivative e^{-x}

d er i v a t i v e e^{- x}

麦克劳林 5cos(pix)

ma c l a u r in 5 cos (π x)

斜率 (-3,5),(3,5)

s l o p e (- 3, 5), (3, 5)

y^{^{'}} = 2 x + 3

integral from 1 to 2 of x^{-3}

\int_{1}^{2} x^{- 3} d x