inverselaplace ((18))/(s(s^2+6s+18))

解

逆ラプラス

\frac{( 18 )}{s ( s ^{2} + 6 s + 18 )}

H (t) - e^{- 3 t} cos (3 t) - e^{- 3 t} sin (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{( 18 )}{s ( s ^{2} + 6 s + 18 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{18}{s ( s ^{2} + 6 s + 18 )} : \frac{1}{s} + \frac{- s - 6}{s ^{2} + 6 s + 18}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 6}{s ^{2} + 6 s + 18}}

拡張

\frac{- s - 6}{s ^{2} + 6 s + 18} : - \frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 9} - 3 \cdot \frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 9}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 9} - 3 \cdot \frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 9}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 9}} - 3 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 9}} : e^{- 3 t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 9}} : e^{- 3 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= H (t) - e^{- 3 t} cos (3 t) - 3 e^{- 3 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

H (t) - e^{- 3 t} cos (3 t) - 3 e^{- 3 t} \frac{1}{3} sin (3 t) : H (t) - e^{- 3 t} cos (3 t) - e^{- 3 t} sin (3 t)

= H (t) - e^{- 3 t} cos (3 t) - e^{- 3 t} sin (3 t)