integral of 1/(e^x-9e^{-x)}

Soluzione

\int \frac{1}{e ^{x} - 9 e ^{- x}} d x

- \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

Fasi della soluzione

\int \frac{1}{e ^{x} - 9 e ^{- x}} d x

Fattorizza

e^{x} - 9 e^{- x} : e^{- x} (e^{x} + 3) (e^{x} - 3)

= \int \frac{1}{e ^{- x} ( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

Applica la regola degli esponenti:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- x} ( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} = e^{x} \frac{1}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )}

= \int e^{x} \frac{1}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

Semplifica

e^{x} \frac{1}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} : \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )}

= \int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

Applicare la sostituzione u

= \int \frac{1}{( u + 3 ) ( u - 3 )} d u

Prendi la frazione parziale di

\frac{1}{( u + 3 ) ( u - 3 )} : - \frac{1}{6 ( u + 3 )} + \frac{1}{6 ( u - 3 )}

= \int - \frac{1}{6 ( u + 3 )} + \frac{1}{6 ( u - 3 )} d u

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{6 ( u + 3 )} d u + \int \frac{1}{6 ( u - 3 )} d u

\int \frac{1}{6 ( u + 3 )} d u = \frac{1}{6} ln ∣ u + 3 ∣

\int \frac{1}{6 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{6} ln ∣ u - 3 ∣

= - \frac{1}{6} ln ∣ u + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ u - 3 ∣

Sostituire indietro

u = e^{x}

= - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

Aggiungi una costante alla soluzione

= - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

x \to 0 lim (\frac{arctan ( x )}{x})

\int \frac{5 x + 4}{( x + 8 ) ^{2} ( x - 1 )} d x

\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 3} \frac{y - 2}{y - 3}

in v erse l a pl a ce \frac{2 s + 3}{s ^{2} + 6 s + 13}

\frac{1}{5} \frac{d y}{d x} = (\frac{1}{5})^{2} - \frac{1}{5}