integral of 1/((x^2+y^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{y ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{y ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{y} x)

ein

= \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x))

Vereinfache

\frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x)) : \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

3 y^{^{''}} - 24 y^{^{'}} + 36 y = 6 sin (2 x)

\int_{1}^{3} \frac{2}{4 + ( x - 1 ) ^{2}} d x

y^{^{'}} = \frac{2 y}{x}

x \to 0 lim (\frac{x ^{2}}{x})

\frac{d}{d x} (2 sec (cos (x)) + 2 tan (2 x))