derivative (y(4x+4y))/((x^2+y^2))

解

導関数

\frac{y ( 4 x + 4 y )}{( x ^{2} + y ^{2} )}

\frac{- 4 x y ^{2} + 8 x ^{2} y + 4 x ^{3}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

解答ステップ

\frac{d}{d y} (\frac{y ( 4 x + 4 y )}{x ^{2} + y ^{2}})

x

を定数として扱う

商の法則を適用:

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - g ^{'} \cdot f}{g ^{2}}

= \frac{\frac{d}{d y} ( y ( 4 x + 4 y ) ) ( x ^{2} + y ^{2} ) - \frac{d}{d y} ( x ^{2} + y ^{2} ) y ( 4 x + 4 y )}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

\frac{d}{d y} (y (4 x + 4 y)) = 4 x + 8 y

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = 2 y

= \frac{( 4 x + 8 y ) ( x ^{2} + y ^{2} ) - 2 yy ( 4 x + 4 y )}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

簡素化

\frac{( 4 x + 8 y ) ( x ^{2} + y ^{2} ) - 2 yy ( 4 x + 4 y )}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} : \frac{- 4 x y ^{2} + 8 x ^{2} y + 4 x ^{3}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

= \frac{- 4 x y ^{2} + 8 x ^{2} y + 4 x ^{3}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}