integral of 7sin^5(x)cos^3(x)

Lösung

\int 7 sin^{5} (x) cos^{3} (x) d x

7 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( x )}{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int 7 sin^{5} (x) cos^{3} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \int sin^{5} (x) cos^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 7 \cdot \int (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x) cos^{3} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 7 \cdot \int - u^{3} (1 - u^{2})^{2} d u

Multipliziere aus

- u^{3} (1 - u^{2})^{2} : - u^{3} + 2 u^{5} - u^{7}

= 7 \cdot \int - u^{3} + 2 u^{5} - u^{7} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 7 (- \int u^{3} d u + \int 2 u^{5} d u - \int u^{7} d u)

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

\int 2 u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{3}

\int u^{7} d u = \frac{u ^{8}}{8}

= 7 (- \frac{u ^{4}}{4} + \frac{u ^{6}}{3} - \frac{u ^{8}}{8})

Setze in

u = cos (x)

ein

= 7 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( x )}{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 7 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( x )}{8}) + C

\frac{\partial}{\partial y} (x e^{x^{2} - y})

\int (3 x + 1)^{7} d x

x \to - 6 + lim (\frac{x + 7}{x + 6})

\frac{\partial}{\partial y} (cos (x y) x)

\frac{d}{d x} ((x^{2} - \frac{2}{3})^{\frac{3}{2}})