integral of (7x^2-8x)e^{2x}

解

\int (7 x^{2} - 8 x) e^{2 x} d x

\frac{7}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{15}{2} e^{2 x} x + \frac{15}{4} e^{2 x} + C

解答ステップ

\int (7 x^{2} - 8 x) e^{2 x} d x

拡張

(7 x^{2} - 8 x) e^{2 x} : 7 e^{2 x} x^{2} - 8 e^{2 x} x

= \int 7 e^{2 x} x^{2} - 8 e^{2 x} x d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 7 e^{2 x} x^{2} d x - \int 8 e^{2 x} x d x

\int 7 e^{2 x} x^{2} d x = 7 (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}))

\int 8 e^{2 x} x d x = 2 (2 e^{2 x} x - e^{2 x})

= 7 (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) - 2 (2 e^{2 x} x - e^{2 x})

簡素化

7 (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) - 2 (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) : \frac{7}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{15}{2} e^{2 x} x + \frac{15}{4} e^{2 x}

= \frac{7}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{15}{2} e^{2 x} x + \frac{15}{4} e^{2 x}

定数を解答に追加する

= \frac{7}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{15}{2} e^{2 x} x + \frac{15}{4} e^{2 x} + C