integral of e^{-1/2 z^2}

解

\int e^{- \frac{1}{2} z^{2}}

\frac{π}{2} erf (\frac{z}{2}) + C

解答ステップ

\int e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z

簡素化

- \frac{1}{2} z^{2} : - \frac{z ^{2}}{2}

= \int e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z

指数の規則を適用する:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{z ^{2}}{2} = (\frac{z}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{z}{2})^{2}} d z

u置換積分法を適用する

= \int e^{- u^{2}} 2 d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 \frac{π}{2} erf (u)

代用を戻す

u = \frac{z}{2}

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2})

簡素化

2 \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2}) : \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2})

= \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2})

定数を解答に追加する

= \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2}) + C