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人気のある微分積分 >

integral of (x^2)/(16-x^2)

解

\int \frac{x ^{2}}{16 - x ^{2}} d x

解

2 ln \frac{x}{4} + 1 - 2 ln \frac{x}{4} - 1 - x + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{16 - x ^{2}} d x

置換積分法を適用する

= \int \frac{4 u ^{2}}{1 - u ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{u ^{2}}{1 - u ^{2}} d u

\frac{u ^{2}}{1 - u ^{2}} = \frac{1}{1 - u ^{2}} - 1

= 4 \cdot \int \frac{1}{1 - u ^{2}} - 1 d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int \frac{1}{1 - u ^{2}} d u - \int 1 d u)

\int \frac{1}{1 - u ^{2}} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

\int 1 d u = u

= 4 (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2} - u)

代用を戻す

u = \frac{x}{4}

= 4 (\frac{ln \frac{x}{4} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{4} - 1}{2} - \frac{x}{4})

簡素化

4 (\frac{ln \frac{x}{4} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{4} - 1}{2} - \frac{x}{4}) : 2 ln \frac{x}{4} + 1 - 2 ln \frac{x}{4} - 1 - x

= 2 ln \frac{x}{4} + 1 - 2 ln \frac{x}{4} - 1 - x

定数を解答に追加する

= 2 ln \frac{x}{4} + 1 - 2 ln \frac{x}{4} - 1 - x + C

グラフ

人気の例

integral of (((3x+2))/(sqrt(19-5x+x^2)))

\int (\frac{( 3 x + 2 )}{19 - 5 x + x ^{2}}) d x

integral of (12x^2)/(2x^3+1)

\int \frac{12 x ^{2}}{2 x ^{3} + 1} d x

derivative (8x+x^2)/((4+x)^2)

d er i v a t i v e \frac{8 x + x ^{2}}{( 4 + x ) ^{2}}

integral of x/(sqrt(4-5x^2))

\int \frac{x}{4 - 5 x ^{2}} d x

derivative f(x)= x/(x+5)

d er i v a t i v e f (x) = \frac{x}{x + 5}