integral of sqrt((x^2)/4-1)

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{4} - 1 d x

\frac{1}{4} x x^{2} - 4 - ln (\frac{1}{2} x + x^{2} - 4) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{4} - 1 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 2 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 2 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 2 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{2} x)

ein

= 2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x))) : \frac{1}{4} x x^{2} - 4 - ln (\frac{1}{2} x + x^{2} - 4)

= \frac{1}{4} x x^{2} - 4 - ln (\frac{1}{2} x + x^{2} - 4)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} x x^{2} - 4 - ln (\frac{1}{2} x + x^{2} - 4) + C

\frac{d}{d x} (2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2})

y^{^{'}} + 8 y = 4, y (0) = 3

\int_{0}^{2} t e^{t^{2}} d t

\frac{\partial}{\partial x} ((2 x - x^{2}) (2 y - y^{2}))

x \to 1 lim (\frac{2 x}{x ^{3} + 1})