интеграл от (e^{5x})/((e^{5x)+11)^2}

Решение

\int \frac{e ^{5 x}}{( e ^{5 x} + 11 ) ^{2}} d x

- \frac{1}{5 ( e ^{5 x} + 11 )} + C

Шаги решения

\int \frac{e ^{5 x}}{( e ^{5 x} + 11 ) ^{2}} d x

Примените правило возведения в степень:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{e ^{5 x}}{( e ^{5 x} + 11 ) ^{2}} = (e^{5 x}) (e^{5 x} + 11)^{- 2}

= \int e^{5 x} (e^{5 x} + 11)^{- 2} d x

Расширить

e^{5 x} (e^{5 x} + 11)^{- 2} : \frac{e ^{5 x}}{e ^{10 x} + 22 e ^{5 x} + 121}

= \int \frac{e ^{5 x}}{e ^{10 x} + 22 e ^{5 x} + 121} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{5 ( u ^{2} + 22 u + 121 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 22 u + 121} d u

Извлечь элементарную дробь из

\frac{1}{u ^{2} + 22 u + 121} : \frac{1}{( u + 11 ) ^{2}}

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{( u + 11 ) ^{2}} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Применить правило показателя степени

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{v})

Делаем обратную замену

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{e ^{5 x} + 11})

Упростите

\frac{1}{5} (- \frac{1}{e ^{5 x} + 11}) : - \frac{1}{5 ( e ^{5 x} + 11 )}

= - \frac{1}{5 ( e ^{5 x} + 11 )}

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{5 ( e ^{5 x} + 11 )} + C