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受欢迎的微积分 >

integral of (e^x)/(sqrt(e^{2x)-e^x)}

解答

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - e ^{x}} d x

解答

2 ln e^{\frac{x}{2}} + e^{x} - 1 + C

求解步骤

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - e ^{x}} d x

使用换元积分法

= \int \frac{1}{u ^{2} - u} d u

分解

\frac{1}{u ^{2} - u}

= \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

使用换元积分法

= \int \frac{1}{( v + 1 ) v} d v

使用指数法则:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

(v + 1) v = (v + 1) v

= \int \frac{1}{v + 1 v} d v

使用换元积分法

= \int \frac{2}{w ^{2} + 1} d w

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = ln w^{2} + 1 + w

= 2 ln w^{2} + 1 + w

代回

= 2 ln (e^{x} - 1)^{2} + 1 + e^{x} - 1

(e^{x} - 1)^{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}

= 2 ln e^{\frac{x}{2}} + e^{x} - 1

解答补常数

= 2 ln e^{\frac{x}{2}} + e^{x} - 1 + C

作图

流行的例子

integral of (3cos(ln|x|))/x

\int \frac{3 cos ( ln ∣ x ∣ )}{x} d x

limit as x approaches 0 of xtan(x)

x \to 0 lim (x tan (x))

derivative (x^6+3x^2+50)/(x^2+1)

d er i v a t i v e \frac{x ^{6} + 3 x ^{2} + 50}{x ^{2} + 1}

derivative f(x)=(2x)/((x^3-9)^2)

d er i v a t i v e f (x) = \frac{2 x}{( x ^{3} - 9 ) ^{2}}

derivative of cot(6x)

\frac{d}{d x} (cot (6 x))