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integral of sqrt(1+e^x)

Lösung

\int 1 + e^{x} d x

Lösung

- ln 1 + e^{x} + 1 + ln 1 + e^{x} - 1 + 2 1 + e^{x} + C

Schritte zur Lösung

\int 1 + e^{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1 + u}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v)

\frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} = \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1

= 2 (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1 d v)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- (\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v - \int 1 d v))

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

\int 1 d v = v

= 2 (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2} - v))

Ersetze zurück

= 2 (- (\frac{ln 1 + e ^{x} + 1}{2} - \frac{ln 1 + e ^{x} - 1}{2} - 1 + e^{x}))

Vereinfache

2 (- (\frac{ln 1 + e ^{x} + 1}{2} - \frac{ln 1 + e ^{x} - 1}{2} - 1 + e^{x})) : - ln 1 + e^{x} + 1 + ln 1 + e^{x} - 1 + 2 1 + e^{x}

= - ln 1 + e^{x} + 1 + ln 1 + e^{x} - 1 + 2 1 + e^{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln 1 + e^{x} + 1 + ln 1 + e^{x} - 1 + 2 1 + e^{x} + C

Graph

Beliebte Beispiele

(dy}{dx}=\frac{(y-3sqrt(x^2+y^2)))/x

\frac{d y}{d x} = \frac{( y - 3 x ^{2} + y ^{2} )}{x}

limit as x approaches 0 of x(cos(x))

x \to 0 lim (x (cos (x)))

limit as x approaches 0 of (3-3cos(x))/x

x \to 0 lim (\frac{3 - 3 cos ( x )}{x})

derivative of e^{e^{3x^2}}

\frac{d}{d x} (e^{e^{3 x^{2}}})

derivative of 3/((x-2^2))

\frac{d}{d x} (\frac{3}{( x - 2 ) ^{2}})