integral of sqrt(x^2-y^2)

Lösung

\int x^{2} - y^{2} d y

\frac{1}{2} x^{2} (arcsin (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{y}{x}))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - y^{2} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int x^{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x^{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= x^{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= x^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= x^{2} \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{x} y)

ein

= x^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{x} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{x} y)))

Vereinfache

x^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{x} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{x} y))) : \frac{1}{2} x^{2} (arcsin (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{y}{x})))

= \frac{1}{2} x^{2} (arcsin (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{y}{x})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} x^{2} (arcsin (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{y}{x}))) + C

\int \frac{4 x ^{3} - 6 x ^{4}}{2 x ^{6}} d x

y^{^{'}} = 2 y - x^{2}

(\frac{x ^{2} + x + 4}{x + 1})^{^{'}}

l a pl a ce t r an s f or m 8 t e^{2 t}

d er i v a t i v e f (x) = \frac{5 - x e ^{x}}{x + e ^{x}}