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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 4/((s^3+4s^2+8s))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{4}{( s ^{3} + 4 s ^{2} + 8 s )}

解答

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} sin (2 t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{4}{( s ^{3} + 4 s ^{2} + 8 s )}}

将

\frac{4}{s ^{3} + 4 s ^{2} + 8 s}

用部份分式展开:

\frac{1}{2 s} + \frac{- s - 4}{2 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} + \frac{- s - 4}{2 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

展开

\frac{- s - 4}{2 ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} : \frac{1}{2} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - 1 \cdot e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

整理

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - 1 e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} sin (2 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} sin (2 t)

流行的例子

integral of csc^4(x)cos(x)

\int csc^{4} (x) cos (x) d x

integral of x^4sqrt(3x^5-5)

\int x^{4} 3 x^{5} - 5 d x

derivative of 5/(xsqrt(x))

\frac{d}{d x} (\frac{5}{x x})

slopeintercept (z,2),(-2,-6)

s l o p e in t erce pt (z, 2), (- 2, - 6)

integral of 6xsec(3x^2)tan(3x^2)

\int 6 x sec (3 x^{2}) tan (3 x^{2}) d x