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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 9/(s^3+9s^2+9s)

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{9}{s ^{3} + 9 s ^{2} + 9 s}

解答

H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{2}} sinh ( \frac{3 5 t}{2} )}{5}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{9}{s ^{3} + 9 s ^{2} + 9 s}}

将

\frac{9}{s ^{3} + 9 s ^{2} + 9 s}

用部份分式展开:

\frac{1}{s} + \frac{- s - 9}{s ^{2} + 9 s + 9}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 9}{s ^{2} + 9 s + 9}}

展开

\frac{- s - 9}{s ^{2} + 9 s + 9} : - \frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}} - \frac{9}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}} : e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}} : e^{- \frac{9 t}{2}} \frac{2}{3 5} sinh (\frac{3 5 t}{2})

= H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{9}{2} e^{- \frac{9 t}{2}} \frac{2}{3 5} sinh (\frac{3 5 t}{2})

整理

H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{9}{2} e^{- \frac{9 t}{2}} \frac{2}{3 5} sinh (\frac{3 5 t}{2}) : H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{2}} sinh ( \frac{3 5 t}{2} )}{5}

= H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{2}} sinh ( \frac{3 5 t}{2} )}{5}

流行的例子

1/(8x)(dy)/(dx)=ysqrt(4x^2-1)

\frac{1}{8 x} \frac{d y}{d x} = y 4 x^{2} - 1

integral of 5-0.04x+3x^2

\int 5 - 0.04 x + 3 x^{2} d x

4y^{''}-4y^'-3y=0,y(0)=1,y^'(0)=9

4 y^{^{''}} - 4 y^{^{'}} - 3 y = 0, y (0) = 1, y^{^{'}} (0) = 9

(\partial)/(\partial x)((e^x+e^y)^6)

\frac{\partial}{\partial x} ((e^{x} + e^{y})^{6})

integral of (sqrt(1-x^2))/((x^2-1)^2)

\int \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} d x