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integral of sqrt((3x+1)/(3x-1))

Lösung

\int \frac{3 x + 1}{3 x - 1} d x

Lösung

- \frac{1}{3} (- 3 x + 1 3 x - 1 - ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} + 1 + ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x + 1}{3 x - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u + 2}{3 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{u + 2}{u} d u

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{u + 2}{u} d u

\frac{u + 2}{u} = (\frac{u}{u} + \frac{2}{u})

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{u}{u} + \frac{2}{u} d u

\frac{u}{u} = 1

= \frac{1}{3} \cdot \int 1 + \frac{2}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int - \frac{2 v + 1}{v ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} (- 2 \cdot \int \frac{v + 1}{v ^{2}} d v)

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - \int - \frac{1}{2 v v + 1} d v))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v v + 1} d v)))

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{w ^{2} - 1} d w)))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w)))

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w)))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w))))

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{3} (- 2 (- \frac{v + 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2})))))

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} - 2 - \frac{\frac{2}{3 x - 1} + 1}{\frac{2}{3 x - 1}} - - \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{ln \frac{2}{3 x - 1} + 1 + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3 x - 1} + 1 - 1}{2}

Vereinfache

\frac{1}{3} - 2 - \frac{\frac{2}{3 x - 1} + 1}{\frac{2}{3 x - 1}} - - \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{ln \frac{2}{3 x - 1} + 1 + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3 x - 1} + 1 - 1}{2} : - \frac{1}{3} (- 3 x + 1 3 x - 1 - ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} + 1 + ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} - 1)

= - \frac{1}{3} (- 3 x + 1 3 x - 1 - ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} + 1 + ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} (- 3 x + 1 3 x - 1 - ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} + 1 + ln \frac{3 x + 1}{3 x - 1} - 1) + C

Graph

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