integral of 1/((x^2-2x+2)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}} d x

\frac{1}{2} (arctan (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 2 x + 2 : (x - 1)^{2} + 1

= \int \frac{1}{( ( x - 1 ) ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (arctan (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arctan (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - 1))) + C

\int \frac{4}{1 - x ^{2}} d x

\frac{d}{d x} (\frac{4 x ^{3} - 2 x + 1}{x ^{2}})

\int_{0}^{2 π} 3 sin (2 x) d x

x \to 0 lim (\frac{- ln ( 1 + 6 x )}{x})

\int \frac{x ^{3}}{1 + x ^{2} - x ^{4}} d x